На прямой отметили 9 точек. Сколько всего получилось отрезков концами которых являются эти точки?

Объясню популярно без элементов комбинаторики.

пронумеруем точки числами 1,2,3 ... 8,9

отрезки с начальной точкой 1 будут такие 1-2, 1-3,1-4 ... 1-8,1-9

Всего их будет 8.

отрезки с начальной точкой 2 будут такие 2-3,2-4, ...,2-8,2-9

всего их будет 7

и т. д., отрезков будет 6,5,4,3,2 и наконец 1 такого вида 8-9

Значит, всего отрезков будет 8+7 + ... + 2+1 или запишем красивее = 1+2 + ... + 7+8=36 или другими словами сумма первых 8 натуральных чисел, что есть арифметической прогрессией, где первый член=1, последний=8, а их 8, вычисляется по формуле S=[ (1+8) / 2]*8=36