1. Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла А, пересекает его стороны в точках В и С. Докажите, что треугольник АВС является равнобедренным.

допустим перпендикуляр с биссектрисой пересекается в точке Е, тогда

угол САЕ=ВАЕ (свойство биссектрис)

АЕС=АЕВ (перпендикуляр)

АЕ общая сторона = > треуг. САЕ=АЕВ = > СА=АВ (как соответствующий элемент равных треуг.)

или второе решение

допустим перпендикуляр с биссектрисой пересекается в точке Е, тогда

угол САЕ=ВАЕ (свойство биссектрис)

АЕС=АЕВ (перпендикуляр)

т. к. сумма углов равна 180 гр. тогда

180-САЕ-АЕС=180-ЕАВ-АЕВ = >

АСЕ=АВЕ = > треуг. равнобедренный т. к. углы при основании равны

ч. т. д.