На высотах ВВ1 и СС1 треугольника АВС взяты точки В2 и С2 так, чтобы угол АВ2 С = углу АС2 В = 90. Докажите, что АВ2 = АС2

AB_1=x, AB=y. Тогда AC_1=kx, AC=ky, B_1C=|ky-x|, C_B = |y-kx| (модуль написан из-за того, что основание высоты может лежать не на стороне, а на ее продолжении).

Теорема Пифагора:

С_2 С_1^2=a^2-k^2*x^2, C_2B = (y-kx) ^2 + (a^2-k^2*x^2) = y^2-2kxy+a^2;

B_2B_1^2=a^2-x^2, B_2C = (ky-x) ^2 + (a^2-*x^2) = k^2*y^2-2kxy+a^2.

Теперь теорема косинусов для

1. треугольника ABC_2:

y^2=a^2+y^2-2kxy+a^2-2a*корень (y^2-2kxy+a^2) * cos (AC_2B),

a^2-kxy=a*корень (y^2-2kxy+a^2) * cos (AC_2B);

2. треугольника ACB_2:

a^2-kxy=a*корень (k^2*y^2-2kxy+a^2) * cos (AB_2C).

Тогда

корень (y^2-2kxy+a^2) * cos (AC_2B) = корень (k^2*y^2-2kxy+a^2) * cos (AB_2C)

и если углы равны, но не прямые, то k=1, т. е. треугольник равнобедренный.

Если треугольник не равнобедренный и углы не прямые, то из сформулированного условия следует, что

АВ_2 не равно АС_2