Найдите катеты прямоугольного треугольника, если радиус вписаной в него окружности равен 2 см, а медиана на гипотенузу равна 5 см.

Медина прямоугольного треугольника, опущенного на гипотенузу являетс радиусом описанной окружности и равна половине длины гипотенузы. Треугольник АВС, где В-прямой угол ВО-медиана и ВО=АО=ОС=5. АС-гипотенуза и равна 5+5=10 см

катеты а и b. По теореме Пифагора

а^2+b^2=10^2

Радиус вписанной окружности равен

r = (a+b-c) : 2=2

(a+b-10) : 2=2

a+b-10=4

a+b=14

a=14-b

Подставляем в первое уравнение

(14-b) ^2+b^2=100

196-28b+b^2+b^2=100

2b^2-28b+96=0 (сокращаем на 2)

b^2-14b+48=0

дискрим Д=196-192=4, корень из Д=2

b1 = (14-2) / 2=6

b2 = (14+2) / 2=8

если b=6, то а=14-6=8

если b=8, то а=14-8=6

Катеты треугольника равны 6 см и 8 см