Докажите, что в любом треугольнике центр одной из вневписанных окружностей, центр вписанной окружности и какие то две вершины лежат на одной окружности.

Задача элементарная, но хорошо сформулированная.

Не "какие-то" две вершины, а вершины той стороны, которой касаются обе упомянутые окружности (то есть - той, которая их общая внутренняя касательная).

Доказать это очень просто.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов, поэтому угол, под которым видна эта сторона из центра, равен 180° минус полусумма углов при этой стороне.

Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов при этой стороне (и биссектрисы третьего внутреннего угла, но это тут не важно), то есть угол, под которым сторона видна из этой точки, равен просто полусумме внутренних углов (ну, 180° минус полусумма внешних, что и дает полусумму внутренних).

То есть сумма этих углов равна 180°, что означает, что все четыре точки (два центра и концы стороны) лежат на одной окружности.