Точки А1, B1 и С1 симметричны центру I вписанной в треугольник АВС окружности относительно его сторон ВС, АС и АВ соответственно. Окружность, описанная около треугольника А1 В1 С1, проходит через точку А. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = а.

О - центр окружности - точнее, обеих окружностей, заданных в задаче (ясно, что точки А1 В1 С1 равноудалены от центра вписанной окружности, то есть окружность, вписанная в АВС и окружность, описанная вокруг А1 В1 С1 - и проходящая через А - имеют общий центр).

В треугольнике АС1 О стороны ОС1 и ОА равны, и - кроме того, медиана АВ перпендикулярна стороне ОС1. То есть АС1 О - равносторонний треугольник.

Аналогично и АВ1 О - равносторонний треугольник, но уже и без того ясно, что угол ВАО = 30 градусам, а угол САВ = 60 градусам.

Отсюда по теореме синусов 2Rsin (60 °) = a; R = a / √3;