Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 9, 10 и 11. Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10.

Пусть в треугольнике АВС стороны равны:

АВ (с) = 11, ВС (а) = 9 и АС (в) = 10,

Можно задачу решать так:

- находим площадь по Герону:

S = √ (р (р-а) (р-в) (р-с) = √ (15*6*4*5) = √1800 = 30√2.

- радиус вписанной окружности r = S/p = 30√2/15 = 2√2.

- по теореме косинусов находим угол А:

cos A = (b²+c²-а²) / (2bc) = 0,636364.

A = arc cos 0,636364 = 0,881021 радиан = 50,4788 °.

Тогда искомый отрезок от точки А до точки М (точка касания) равен:

АМ = r/tg (A/2) = 2√2 / 0,471405 = 6.

Но есть простое решение:

АМ = р - а = 15 - 9 = 6.