В куб с ребром, равным a, вписан шар. Вычислите радиус шара, касающегося данного шара и трех граней куба, имеющих общую вершину.

Вот считаю устно прямо при вас.

Диагональ куба равна a√3;

расстояние от вершины до центра куба и шара a√3/2;

радиус шара a/2;

поэтому от вершины до ближайшей точки шара a (√3 - 1) / 2;

это та точка, в которой малый шар касается вписанного в куб.

Если его радиус r, то от вершины куба до центра этого шара r√3;

а до точки касания r√3 + r = r (√3 + 1);

отсюда r = (a/2) (√3 - 1) / (√3 + 1);

ну корень из знаменателя вы сами уберите.