Найти отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, к гипотенузе этого треугольника.

R=S/p; (1) a - катеты; с - гипотенуза; площадь равна половине произведения катетов; S=a^2/2; (2) p = (a+a+c) / 2 = (2a+c) / 2; (3) по теореме Пифагора: c^2=a^2+a^2; c=a√2; (4) подставим (2), (3) и (4) в (1) : r=a^2/2 * 2 / (2a+c) = a^2 / (2a+c) = a^2 / (2a+a√2) = a / (2+√2); найдем отношение радиуса к гипотенузе: r/c=a / (2+√2) : a√2=1/√2 (2+√2) = 1 / (2√2+2) = (2√2-2) / (2√2-2) (2√2+2) = (2√2-2) / (8-4) = 2 (√2-1) / 4=0,5√2-0,5=√0,5-0,5;