Окружность радиуса 1 вписанная в равнобедренный треугольник ABC (AB=BC) касается стороны АВ в точке D при этом AD:BD=3:2

Найти АС и СD

АД=3 х, ВД=2 х

АВ=АД+ВД=5 х, ВС=5 х

Окружность касается стороны АС в точке Н, стороны ВС в точке К

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки АД=АН=3 х

НС=СК=3 х

АС=АН+НС=2 АН=6 х

Значит ВН - медиана, а также высота и биссектриса равнобедренного треугольника

ВН=√ (АВ²-АН²) = √ (25 х²-9 х²) = √16 х²=4 х

Площадь Saвс=ВН*АС/2=4 х*6 х/2=12 х²

Полупериметр р = (2 АВ+АС) / 2 = (2*5 х+6 х) / 2=8 х

Радиус вписанной окружности

r=S/p

1=12 х²/8 х

х=2/3

АС=6*2/3=4

АВ=ВС=5*2/3=10/3

ВД=2*2/3=4/3

По теореме косинусов

АС²=2 АВ²-2 АВ²*cos B=2 АВ² (1-cos B)

cos B=1-AC²/2AB²=1-18/25=7/25

СД²=ВД²+ВС²-2 ВД*ВС*cos B=16/9+100/9-2*4/3*10/3*7/25=52/5=10,4

СД=√10,4