Медианы мм1 и кк1 пересекаются в точке о под прямым углом, причём отрезок КО в два раза больше отрезка МО. Сторона КМ треугольника КМN равна корень из 40. Найдите периметр треугольника KMN

На основе задания делаем вывод: треугольник КОМ - прямоугольный с соотношением катетов 2:1.

Обозначим КО = 2 х. а МО = х.

Тогда по Пифагору 40² = х² + (2 х) ².

5 х² = 1600,

х² = 1600/5 = 320,

х = √320 = 8√5.

Точка О делит медианы в отношении 2:1 от вершины.

Находим МО = 8√5, КО = 2*8√5 = 16√5.

Отрезок ОК1 по свойству медианы равен 1/2 КО и равен 8√5.

То есть, треугольник МОК1 - прямоугольный равнобедренный.

МК1 = К1N = x√2 = 8√5*√2 = 8√10, а сторона MN = 2*8√10 = 16√10.

Последнюю неизвестную сторону находим по теореме синусов.

Находим угол MКO.

tg

Находим угол ОКМ1. OM1 = (1/2) MO = 8√5/2 = 4√5.

tg< ОКМ1 = ОМ1/OK = 4√5/16√5 = 1/4.

<ОКМ1 = arc tg (1/4) = 0,244979 радиан = 14,03624 °.

Угол К равен сумме МКО и ОКМ1:

<К = 26,56505° + 14.03624° = 40,60129 °.

Находим угол N.

sin N/40 = sin K / (16√10),

sin N = 40*sin K/16√10 = 40 * 0,650791/16 √10 = 0,514496.

Угол N = arc sin 0,514496 = 0,54042 радиан = 30,96376 °.

Угол В = 180°-
KN = sin M*40/sin N = 0,948683*40 / 0,514496 = 73,75636.

Периметр треугольника равен 164,3528026.