30 б 2) Решите треугольник BCD, если угол В=45⁰, угол D=60⁰, ВС=√3 см

Решить треугольник, значит найти его не достающие основные элементы.

У данного нам треугольника BCD имеется 6 основных характеристик:

3 линейные (длины сторон ВС, CD, BD) и 3 угловые (
Нам известны сторона ВС и угпы В и D.

Требуется найти стороны CD и BD и

Стороны CD и BD найдем по теореме синусов:

ВС/SinD=CD/SinB, отсюда CD=BC*Sin45/Sin60 или

CD=√3 * (√2/2) / (√3/2) = √2.

ВD/SinC=CD/SinB, отсюда BD=CD*Sin75/Sin45.

Sin75=Sin (30+45) = Sin30*cos45+Cos30*sin45 = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2).

Sin75=√2 (1+√3) / 4.

BD=√2*√2 (1+√3) / (√2/2) * 4=√2 (1+√3) / 2.

Сторону ВD можно найти и по теореме косинусов:

BC²=BD²+CD²-2*BD*СD*CosD или 3=BD²+2-2*BD*√2 * (1/2) или

BD²-BD*√2-1=0.

Отсюда

BD=√2 (1+√3) / 2. Второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию.

Или так:

BD²=BC²+CD²-2*BC*СD*CosC или

BD²=5-2*√3*√2*Cos75.

Cos75=Cos30*Cos45-Sin30*Sin45 = √2 (√3-1) / 4.

Заметим, что 4+2√3 = (1+√3) ² ((1+√3) ²=1+2√3+3). Тогда

BD=√[ (10-6+√12) / 2] = √[ (4+2√3) / 2] = √ (1+√3) ²/√2 = √2 (1+√3) / 2.

Ответ: