В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90∘) медианы AD и CM перпендикулярны друг другу. Найти гипотенузу AB, если третья медиана BK равна 3√5.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

обозначим точку пересечения медиан М

тогда, МК = √5 (ВМ = 2√5)

треугольник СМА - прямоугольный по условию, МК в нем - медиана.

медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы!

СА - гипотенуза треугольника СМА, СА = 2√5; СК = АК = √5

треугольник ВСК - прямоугольный, по т. Пифагора:

ВС² = ВК² - СК²

ВС² = (ВК-СК) (ВК+СК) = (3√5 - √5) (3√5 + √5) = 2√5 * 4√5 = 5*8 = 40

ВА² = ВС² + СА² = 40 + (2√5) ² = 40+20 = 60

ВА = √60 = 2√15