В прямоугольном треугольнике НРЕ (Н=90) ЕL - биссектриса угла Е. Отрезок LE в два раза больше отрезка LH и на 8 см меньше отрезка НР. Найти катет РН.

Пусть HPE - прямоугольный треугольник с катетами HP и HE, гипотенузой PE. LE - биссектриса угла E

В прямоугольном треугольнике LHE: LH и HE - катеты, LE - гипотенуза.

По условию гипотенуза LE в 2 раза больше катета LH ⇒ угол LEH = 30° т. к. катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.

Угол PEL равен 30°, т. к. биссектриса LE делит угол PEH пополам ⇒

⇒ угол PEH = 30 + 30 = 60° ⇒ угол EPH = 180 - 90 - 60 = 30° ⇒ треугольник PLE - равнобедренный с основанием PE, углами при основании равными 30° каждый ⇒ PL = LE как боковые стороны равнобедренного треугольника.

Пусть LE = Х, тогда

PL = Х

LH = X / 2

HP = X + 8 (по условию)

HP = PL + LH = X + X/2

x + x/2 = x + 8

x - x + x/2 = 8

x/2 = 8

x = 8 * 2

x = 16

LE = 16 (cм)

HP = 16 + 8 = 24 (см)

Ответ: 24 cм