Докажите что сумма расстояния от любой точки взятой внутри или на любой стороне правильного треугольника до его сторон равна высоте треугольника.

Возьмем равносторонний треугольник ∆АВС и точку внутри этого треугольника О.

Соединим эту точку с вершинами треугольника. Таким образом мы разделили данный нам ∆ АВС на 3 треугольника: ∆АОВ, ∆АОС и ∆ВОС. То есть площадь данного нам ∆АВС равна сумме площадей ∆АОВ, ∆АОС и ∆ВОС.

Но Sавс = 1/2 АС*Н (где Н - высота нашго треугольника)

Sаов = 1/2 АВ*h1 (где h1 - высота ∆АОВ или ничто иное как расстояние от точки О внутри нашего треугольника до стороны АВ)

Sаос = 1/2 АС*h2 (где h2 - это расстояние от О до прямой АС)

Sвос = 1/2 ВС*h3 (где h3 - это расстояние от О до прямой ВС)

Но АВ=ВС=АС по определению.

Тогда сумма площадей трех треугольников равна 1/2 АВ*h1+1/2 АС*h2+1/2 ВС*h3 или 1/2 АС*h1+1/2 АС*h2+1/2 АС*h3 = 1/2 АС * (h1+h2+h3) и эта сумма равна площади нашего треугольника АВС Sавс = 1/2 АС*H.

Значит Н = h1+h2+h3 что и требовалось доказать.

Если точка лежит на любой из сторон - это частный случай, когда соединив эту точку с вершинами данного нам треугольника получим два треугольника, а не три. Остальные рассуждения те же.