На каком расстоянии от диагонали куба находятся его вершины, не принадлежащие этой диагонали, если объем шара, описанного около этого куба равен 10 2/3 пи

надо искать радиус сферы.

Объём шара вычисляется по формуле

V = 4πR³/3

По условию V = 10 2/3 π = 32π/3

4πR³/3 = 32π/3

R³ = 8

R = 2

расстояние от вершины, не принадлежащей данной диагонали до данной диагонали явялется высотой в треугольнике, образованном диагональю куба, диагональю боковой грани и ребром куба.

Диагональ куба равна двум радиусам Д = 4

Длина ребра равна а = Д/√3 = 4/√3

Длина диагонали боковой грани равна д = а√2 = 4√2/√3

Высота Н, опущенная на диагональ из вершины куба делит ее на отрезки х и 4-х

Найдём сначала х

с одной стороны: Н² = д² - х²

с другой стороны: Н² = а² - (Д - х) ²

д² - х² = а² - Д² + 2 Дх - х²

2 Дх = Д² + д² - а²

8 х = 16 + 32/3 - 16/3

8 х = 64/3

х = 8/3

Тогда Н² = д² - х² = 32/3 - 64/9 = 32/9

Н = (4√2) / 3

Ответ: (4√2) / 3