В прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 12 см вписан квадрат, имеющий с треугольником общий угол. Найдите сторону квадрата, если одна из его вершин лежит на гипотенузе.

Гипотенуза равна √ (10²+12²) = √ (100+144) = √244 = 2√61.

Примем сторону квадрата за х.

Пусть tgC = 10/12 = 5/6.

Поместим треугольник вершиной А в начало координат стороной АС по оси ОХ. Уравнение диагонали квадрата: у = х, а диагонали ВС: (-5/6) х+10.

Если одна из его вершин лежит на гипотенузе, то верно равенство:

(-5/6) х + 10 = х,

-5 х + 60 = 6 х,

11 х = 60,

х = 60/11 ≈ 5,454545.