Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основы. Найдите этот угол.

Обозначим заданные углы α, сторона основания а, боковое ребро L.

Проекция бокового ребра на основание равна длине стороны основания (свойства правильной шестиугольной пирамиды).

cos α = a/L. (1)

В боковой грани sin (α/2) = (a/2) / L.

Используем формулу двойного угла:

cos α = 1 - 2sin² (α/2) и подставим значение синуса половинного угла.

cos α = 1 - 2 * (a² / (4L²)) = 1 - a² / (2L²). (2)

Приравняем значения косинуса искомого угла по формулам (1) и (2).

a/L = 1 - a² / (2L²).

Замена: a/L = х.

Тогда х = 1 - (х²/2).

Получаем квадратное уравнение:

х² + 2 х - 2 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:

D=2^2-4*1 * (-2) = 4-4 * (-2) = 4 - (-4*2) = 4 - (-8) = 4+8=12; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1 = (√12-2) / (2*1) = (√12/2) - (2/2) = √3-1 ≈ 0.73205; x_2 = (-√12-2) / (2*1) = - √12/2-2/2=-√3-1 ≈ - 2.73205 (отбрасываем).

Искомый угол равен arc cos (√3-1) = 0,749469 радиан = 42,9414 °.