В прямоугольном треугольнике высота из вершины прямого угла пересекает биссектрису AL в точке К. При этом AK=9, а KL=6. Площадь треугольника равна:

Выберите один ответ:

60 корней из 3

72

20

120

36

Введем обозначения: ABC - исходный треугольник с прямым углом C, высотой CN и биссектрисой AL пересекающимися в точке K.

Нетрудно видеть, что прямоугольные треугольники ACL и ANK подобны. И коэффициент подобия по отношению их гипотенуз |AL|/|AK| = (9+6) / 9 = 15/9 = 5/3.

Стало быть и их катеты |AC|/|AN| = 5/3. Но прямоугольный треугольник ACN (в котором эти стороны гипотенуза и катет) подобен всему треугольнику ABC в котором стало быть стороны |AB|, |AC| и |CB|относятся как 5:3:4 (4 = корень (5*5-3*3).

Достаточно узнать длину |AC| чтобы найти всю площадь. S = |AC|*|CB|/2 = |AC| * (4/3) * |AC|/2 = (2/3) * |AC|^2

Но |AC| равна 15*cos (A/2), где по формуле косинуса половинного угла cos (A/2) = корень ((1+cos (A)) / 2) = корень ((1+3/5) / 2) = корень (4/5).

То есть S = (2/3) * (15*корень (4/5)) ^2 = (2/3) * 15*15 * (4/5) = 2*4*15 = 120 - такое число есть среди ответов.