Длина основание треугольника равна 14, а медианы, приведённые к боковым сторонам, равны три корень из семи и шесть корень из семи. Найдите длины боковых сторон этого треугольника.

По формуле нахождения медианы по сторонам имеем например медиана из угла А = sqrt (1/2a^2 + 1/2c^2 - 1/4a^2; из угла С = sqrt (1/2b^2 + 1/2a^2 - 1/4c^2),

где а, b, c - стороны лежащие напротив углов А, В, С. Из условия задачи известны: сторона b = 14, медиана из угла А = Ма = 3*sqrt (7), медиана из угла С = Mc = 6*sqrt (7).

Ма = sqrt (1/2b^2 + 1/2c^2 - 1/4a^2)

3*sqrt (7) = sqrt (1/2*14^2 + 1/2c^2 - 1/4a^2), возведем левую и правую часть уравнения в квадрат, получим: 9*7 = 1/2*196 + 1/2a^2 - 1/4c^2

63 = 98 + 1/2c^2 - 1/4a^2, умножим левую и правую часть на 4, получим:

252 = 392 * + 2c^2 - a^2

2c^2 - a^2 + 392 - 252 = 0

2c^2 - a^2 + 140 = 0

a^2 = 2c^2 + 140

Mc = sqrt (1/2b^2 + 1/2a^2 - 1/4c^2)

6*sqrt (7) = 1/2*14^2 + 1/2a^2 - 1/4c^2, возведем левую и правую часть уравнения в квадрат, получим: 36*7 = 1/2 * 14^2 + 1/2a^2 - 1/4c^2

252 = 98 + 1/2a^2 - 1/4c^2, умножим левую и правую часть уравнения на 4. получим: 1008 = 392 + 2a^2 - c^2

c^2 - 2a^2 + 1008 - 392 = 0

c^2 - 2a^2 + 616 = 0, подставим значение а^2, полученное при расчете Ма:

c^2 - 2 * (2c^2 + 140) + 616 = 0

c^2 - 4c^2 - - 280 + 616 = 0

3c^2 = 336

c^2 = 112 = 16*7

c = sqrt (16*7) = 4*sqrt (7)

Подставим полученное в выражение : a^2 = 2c^2 + 140

a^2 = 2*112 + 140

a^2 = 224 + 140

a^2 = 364

a = sqrt (364) = 2*sqrt (91)