Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна S. Найдите основания трапеции

Суммы противоположных сторон этой трапеции равны. Поэтому средняя линия равна боковой стороне. Высота трапеции равна 2R, поэтому

(a + b) / 2 = S / (2R);

это - и полусумма оснований, и боковая сторона.

Если теперь опустить перпендикуляр из вершины меньшего основания на большее, то она разобьет основание на отрезки, равные (a - b) / 2 и (a + b) / 2;

(говоря на правильном математическом жаргоне, проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна (a - b) / 2, это легко увидеть, если провести высоты из обеих вершин меньшего основания, между концами высот будет отрезок b, два других равны между собой, то есть (a - b) / 2; )

Отсюда (a - b) / 2 = √ ((S/2R) ^2 - (2R) ^2);

Складывая эти два равенства, легко найти a = S / (2R) + √ ((S/2R) ^2 - (2R) ^2);

ну, и b = S / (2R) - √ ((S/2R) ^2 - (2R) ^2);