Биссектрисы треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках X, Y, Z. Радиус вписанной окружности треугольника ABC равен 39. Радиус описанной окружности треугольника ABC равен 100. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника XYZ

Для решения этой задачи нам придется вывести кое-какие формулы для площади треугольника.

1. S=Rr (sin A+sin B+sin C).

В самом деле, S=pr=r (a+b+c) / 2=

r (Rsin A+Rsin B+Rsin C) по теореме синусов.

2. S=4Rrcos (A/2) ·cos (B/2) ·cos (C/2).

Преобразуем:

sin A+sin B+sin C=2sin (A+B) / 2·cos (A-B) / 2+sin (180-A-B) =

2sin (A+B) / 2·cos (A-B) / 2+2sin (A+B) / 2·cos (A+B) / 2=

2sin (A+B) / 2· (cos (A-B) / 2+cos (A+B) / 2) =

4sin (180-C) / 2·cos (A-B+A+B) / 4·cos (A-B-A-B) / 4=

4cos (C/2) ·cos (A/2) ·cos (B/2).

По этой формуле мы запишем площадь треугольника ABC.

Переходим к площади треугольника XYZ. Нам понадобится еще одна формула.

3. S_ (XYZ) = 2R^2sin X·sin Y·sin Z.

Имеем: S = (xyz) / (4R) = (2Rsin X) (2Rsin Y) (2Rsin Z) / (4R) = то, что надо.

Заметим, что R общее для обоих треугольников, и что углы

X = (B+C) / 2; Y = (A+C) / 2; Z = (A+B) / 2⇒

S_ (XYZ) = 2R^2sin (B+C) / 2·sin (A+C) / 2·sin (A+B) / 2=

2R^2sin (180-A) / 2·sin (180-B) / 2·sin (180-C) / 2=

2R^2cos (A/2) cos (B/2) cos (C/2).

Поэтому S_ (ABC) / S_ (XYZ) = (4Rr) / (2R^2) = (2r) / R

Ответ: 39/50