Площадь правильного треугольника равна 75 корней из 3, найти радиус описанной окружности

Все стороны правильного (равностороннего) треугольника АВС = а.

Его высота ВН есть медиана, её можно найти из прямоугольного треугольника АВН:

h=√ (a²-a²/4) = √ (3a²/4) = (a√3) / 2

Центры вписанной и описанной окружностей у правильного Δ совпадают

и лежат на пересечении серединных перпендикуляров (они же высоты, биссектрисы и медианы). Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. И 2 части приходится на радиус описанной окружности, а 1 часть приходится на радиус вписанной окружности. Нас интересует R=2/3·h=2/3· (a√3) / 2=a√3/3.

Формула площади правильного треугольника:

S=1/2·a·a·sin60°=a²/2·√3/2=a²√3/4.

По условию S=75√3 ⇒ a²√3/4=75√3 ⇒ a²=75·4=300 ⇒ a=10√3.

R=a√3/3=10√3·√3/3=10.