Сумма обеих координат точки M (x, y) лежащей на плоскости, равна 6. На каком минимальном расстоянии может находиться от начала координат такая точка?

Это задача на наименьшее (наибольшее) значение функции. Принцип решения: а) ввести х

б) остальные неизвестные величины выразить через х

в) составить формулу функции, минимальное (максимальное) значение которой в задаче имеется.

г) исследовaть её на min (max)

Пусть разговор идёт про точку М. Её координаты буду х и (6 - х)

Расстoяние от начала координат = |ОМ|. Именно ОМ должно быть минимальным. ОМ является функцией от х. Надо ОМ найти. Будем искать по т. Пифагора.

ОМ² = х² + (6 - х) ² ⇒ ОМ = √ (х² + 36 - 12 х + х²) = √ (2 х² - 12 х + 36)

Значит, у = √ (2 х² - 12 х + 36)

Проведём исследование этой функции на min

Производная = 1/2√ (2 х² - 12 х + 36) · (4 х - 12)

Приравниваем её к нулю. Ищем критические точки

1/2√ (2 х² - 12 х + 36) · (4 х - 12) = 0⇒ 4 х - 12 = 0⇒ 4 х = 12⇒х = 3

(2 х² - 12 х + 36≠0)

-∞ - 3 + + ∞

Смотрим знаки производной слева от 3 и справа

Производная меняет свой знак с " - " на " + " ⇒ х = 3 - это точка минимума.

Ответ: точка М имеет координаты (3; 3), ОМ = √ (9 + 9) = √18 = 3√2