Дано: треугольник АВС - правильный, АС=8 см. R=AO=2 корня из 3 - радиус окружности описанной около треугольника АВС.

найти 1) расстояние от точки Р до вершин треугольника АВС;

2) расстояние от точки Р до сторон треугольника АВС

Центр правильного треугольника - это центр описанной и вписанной окружности, и расположен он в точке пересечения высот (медиан, биссектрис).

Т. к. все высоты правильного треугольника равны между собой, эта точка делит каждую высоту (медиану) этого треугольника по свойству медиан в отношении 2:1, считая от вершины, т. е.

АО=ВО=СО,

. Эти отрезки - проекции наклонных МА, МВ, МС

Поскольку проекции равны, то и наклонные равны. Т. е.

МА=МВ=МС

МА по т. Пифагора

МА=√ (АО²+МО²)

АО - радиус описанной окружности и может быть найден по формуле

R=a/√3

или найти длину высоты данного правильного треугольника, и 2 ее трети и будут проекциями наклонных, т. е. равны АО.

h=a√3) : 2=6√3) : 2=3√3

AO=3√3) : 3) ·2=2√3

МА=√ (АО² + МО²) = √ (12+4) = 4 см