Дано: m = a + 2b + 3c, n = 2a - b - c, p = 3a - 4b - 5c.

Доказать: m, n, p - компланарны.

Ну, вот для векторов m = a + 2b + 3c, n = 2a - b - c, p = 3a - 4b - 5c,

m - 2n + p = 0; это легко проверить. То есть эти вектора линейно зависимы, чтд. Коэффициенты можно просто подобрать, а можно найти методом неопределенных коэффициентов.

На самом деле, технически эта задача решается так - надо показать, что определитель 3 х3

1 2 3

2 - 1 - 1

3 - 4 - 5

равен нулю.

Это тоже легко проверяется 1 * (5 - 4) - 2 * (-10 + 3) + 3 * (-8 + 3) = 0;

следовательно, строки определителя линейно зависимы, и поэтому вектора лежат в одной плоскости.

Объем параллелепипеда, построенного на них, как на ребрах, равен 0, это еще один метод решения - через смешанное произведение. Я его тут приводить не буду - очень долго набирать, и оно сводится к тому же определителю.