Даны точки a (0; - 2; 0) и b (1; 2; - 1), О - начало координат

1. На оси z найдите точку М (0; 0; z), равноотдаленую от точек А и В.

2. Найдите точку С (x; y; z) такую, вектором CO и АВ были равными.

3. При каком значении x вектор u (x; 2; 1) будет перпендикулярен вектору AB.

Даны точки a (0; - 2; 0) и b (1; 2; - 1), О - начало координат

1. На оси z найдите точку М (0; 0; z), равноудаленую от точек А и В.

Точка М лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку АВ и проходящей через его середину.

Вектор АВ: (1-0=1; 2 - (-2) = 4; - 1-0=-1) = (1; 4; - 1).

Пусть это данный вектор →n = { A, B, C}.

Точка Р - середина АВ: ((0+1) / 2=0,5; (-2+2) / 2=0; (0 + (-1)) / 2=-0,5) =

= (0,5; 0; - 0,5).

Точка P принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда вектор

MP = { (x - x0), (y - y0), (z - z0) } ортогонален вектору →n = { A, B, C }.

Нам дана точка М (0; 0; z).

Условие ортогональности этих векторов (→n, MP) = 0 в координатной форме:

A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - z0) = 0.

Это и есть искомое уравнение.

То есть, чтобы написать уравнение плоскости, нужно знать нормальный вектор плоскости и какую-нибудь точку, принадлежащую плоскости.

Подставим координаты вектора АВ (→n = {A=1, B=4, C=-1}) и точки Р: (0,5; 0; - 0,5).

Получаем уравнение плоскости: 1 (x-0,5) + 4y-1 (z+0,5) = 0.

По заданию х и у = 0.

-0,5 - z - 0,5 = 0.

z = - 1.

Ответ: M (0; 0; - 1).

2. Найдите точку С (x; y; z) такую, чтобы векторы CO и АВ были равными.

У равных векторов равны их координаты.

Вектор АВ: (1; 4; - 1).

Так как конец вектора в точке О (0; 0; 0), то координаты точки С будут с обратным знаком к вектору АВ.

Ответ: С ( - 1; - 4; 1).

3. При каком значении x вектор u (x; 2; 1) будет перпендикулярен вектору AB.

Два вектора будут перпендикулярны тогда, когда их скалярное произведение будет равняться нулю. То есть, должно выполняться условие: ax*bx + ay*by + az*bz = 0

Подставим в него заданные координаты векторов АВ: (1; 4; - 1) и u (x; 2; 1), получим: 1*х + 4*2 + (-1) * 1 = 0

Из полученного уравнения найдем: х = 1 - 8 = - 7.

Ответ. Векторы АВ и u будут перпендикулярны при x = - 7.