Дан прямоугольный треугольник АВС. В него вписана окружность. Площадь треугольника 24, r=2. Найти R.

Для прямоугольного треугольника:

S=p*r, где p - полупериметр, а r - радиус вписанной окружности.

Найдем р=S/r или р=24/2=12. Значит периметр равен 24.

С другой стороны, радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника r = (a+b-c) / 2, где a, b - катеты, с - гипотенуза.

Отсюда (a+b-c) = 4. (1)

Мы нашли, что (a+b+c) = 24. (2). Из системы уравнений (1) и (2) находим, что гипотенуза с=10.

Но в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть R=c/2 или R=10:2=5.

Ответ: R=5.