Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.

Высота, проведенная к меньшей стороне треугольника, по длине самая большая, и наоборот, к большей стороне - самая короткая.

Пусть меньшая сторона будет b, а высота к ней = 6

вторая сторона а, и высота к ней 4 см

третья сторона с, и высота к ней 3 см.

Запишем площадь треугольника по классической формуле S=ha:2 для каждой стороны:

S=4a:2

S=3c:2

S=6b:2

Площадь треугольника, найденная любым способом, одна и та же.

Поэтому 3c:2=6b:2

с=2b

4a:2=6b:2

а=1,5b

Вычислим площадь треугольника по формуле Герона, выразив длину сторон через b.

Полупериметр

р = (а+b+с) : 2 = (b+1,5b+2b) : 2=4,5b:2=2,25b

S=√ (2,25b*0,75b*1,25b*0,25b) = √0,52734375b⁴

S=0,72618b²

0,72618b²=6b:2

0,72618b=3

b=3:0,72618=4,1312

S=6b:2 = 6*4,1312:2=12,3936 см²

Попутно:

с=2b=8,2624

а=1,5b=6,1968

Вычислив площадь по формуле S=ha:2 для каждой стороны с данной в условии высотой, получим равные значения площади.