В правильной четырехугольной призме через диагональ основания ВД с середину ребра СС1 проведена плоскость. Сторона основания равна 4 корня из 2, а боковое ребро 8 см. Найдите площадь сечения и угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Провелем искомую плоскость. Пусть т. С₂ - середина ребра СС₁. Тогда СС₂=С₁С₂=8:2=4 см.

Плоскость пересекает грань ДД₁С₁Спо прямой С₂Д, грань ВВ₁С₁С по прямой ВС₂.

Имеем треугольник ВДС₂ - искомое сечение.

Зная сторону основания найдем диагональ основания призмы. Поскольку призма правильная, то в основании квадрат, диагональ которого в √2 раз больше его стороны. Тогда ВД=АС=а√2=4√2·√2=8 (см)

Пусть О - точка пересечения диагоналей.

Тогда ОС=½АС=½·8=4 см.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания - угол С₂ОС.

Треугольник С₂ОС - прямоугольный равнобедренный, следовательно угол С₂ОС=45°

Тогда С₂О=ОС: соs 45°=4 : (1/√2) = 4√2

Площадь треугольника С₂ВД : S=½аh=½ С₂О·ВД=½·4√2·8=16√2 (см²)