Докажите, что площади равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = а в квадрате на корень из 3 разделить на 4, где а-сторона треугольника. Найдите S, если его сторона равна 2 и корню из 2

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC со стороной а. Проведём высоту BH. Известно, что высота равностороннего треугольника делит сторону, на которую она опущена, пополам. Тогда AH=CH=a/2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём гипотенуза AB равна a, а катет AH равен a/2. По теореме Пифагора найдём катет BH - BH=√a² - (a/2) ²=√a²-a²/4=√3a²/4=√3a/2.

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к неё высоту. Таким образом, S=1/2*AC*BH=1/2*a*√3a/2=√3a²/4, что и требовалось доказать.

Другой способ решения: площадь треугольника равна 1/2*a*b*sinC, где sinC - синус угла между соседними сторонами a и b. Тогда S=1/2*a*a*sin60=1/2*a²*√3/2=√3a²/4.

Если a=2√2, то S=√3 * (2√2) ²/4=√3*8/4=2√3.