Докозательство биссектрисы

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Дано: А АВС - равнобедренный треугольник, АВ - основание, CD - медиана (рис. 22).

Доказать: CD - биссектриса и высота.

Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС - равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D - середина отрезка АВ).

Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:

(смотри изображение)

Так как углы ACD и BCD равны, то CD - биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения:

1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.