Треугольник АBC проведены медианы AA1 и BB1, пересекающие в точке О, докажите что треугольник АOB и A1 и OB1 подобны

Точки А1 и В1 - середины сторон ∆ АСВ. Соединим их. В1 А1 - срденяя линия ∆ АСВ и по свойству средней линии В1 А1║ АВ.⇒

Четырехугольник АВ1 А1 В - трапеция, В1 В и А1 А - ее диагонали.

Треугольники, образованные отрезками иагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь. (свойство трапеции).

Доказательство.

Рассмотрим ∆ АВ1 А1 и ∆ ВВ1 А1. У этих треугольников общее основание и высоты, равные высоте трапеции.

Формула площади треугольника S=a•h/2, где а - сторона треугольника, h - высота, проведенная к ней.

Если основания и высоты треугольников равны, их площади равны.

∆ АВ1 А1 = ∆ АВ1 О+∆ В1 ОА1

∆ ВВ1 А1 = ∆ ВОА1+∆ В1 ОА1

Два треугольника с равной площадью состоят из частей, одна из которых - одна и та же. Следовательно, площади вторых частей этих треугольников равны.

S ∆ АОВ1=S∆ ВОА1, ч. т. д.