Как определить площадь правильного равностороннего треугольника, если радиус круга равен R?

Стороны треугольника - это радиусы, значит они равны R

По формуле S = (a · b · sin60°) : 2 найдем площадь треугольника:

S = (R · R · корень из 3/2) : 2 = (корень из 3 · R · R) : 4

Площадь равностороннего треугольника равна S = a²√3/4.

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник равен r = a√3/6, откуда а = 2√3r.

Тогда S = 4•3r²√3/4 = 3√3r².

Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен R = a/√3, откуда а = R√3

Тогда S = R²•3√3/4 = 3√3R²/4.