Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон АВ, BC и АС в точках K L M соответственно. Найти KL, если АМ=2, МС=3 и уголС=π/3. Как решить эту задачу? ответ: 5

Радиус окружности (OK = OL = OM = r) находится легко

r = 3*ctg (π/6) = √3;

вообще треугольник CLM равносторонний, и хорда LM = 3 соответствует дуге 2 π/3; в решении это не играет роли.

Далее, из теоремы косинусов для треугольника ABC

(x + 2) ^2 = (x + 3) ^2 + 5^2 - 2*5 * (x + 3) * (1/2); где x = BK = BL;

Отсюда x = 5;

Ясно, что половина KL является высотой в прямоугольном треугольнике BKO с катетами OK = √3 и BK = 5;

BO = √ (3 + 25) = 2√7;

KL = 2*OK*BK/BO = 2*√3*5 / (2*√7) = 5√ (3/7);