Конус вписан в пирамиду, основанием которой является прямоугольная трапеция с основаниями, равными 2 и 4. Объём конуса равен 64 п/81. Вычислите угол наклона боковых граней к плоскости основания.

Начнем с того, что вспомним: в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы ее противоположных сторон равны.

Следовательно, сумма ее боковых сторон равна 2+8=10, а

каждая боковая сторона равна 5 см.

Угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания образован радиусом окружности основания конуса и высотой треугольников - боковых граней пирамиды.

Нам необходимо знать диаметр основания конуса, который в то же время является высотой трапеции.

Опустив высоту к большему основанию из вершины В трапеции, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 см и катетами

один = 3 см (полуразность оснований) и

второй - высота трапеции

h = D основания конуса

h²=25-9=16

D=h=√16=4 см

r=2 см

Для нахождения высоты конуса (и пирамиды) применим формулу объёма конуса

V = ⅓ S H = ⅓ π r² H

Объём конуса по условию равен (8 п√3) : 3 см

⅓ π4 H = (8 п√3) : 3

4 π H:3 = (8 п√3) : 3

4 H = 8 √3

Н=2√3 см

РО=Н=2√3

Повторюсь:

Угол наклона боковых граней пирамиды к плоскости основания образован радиусом окружности основания конуса и высотойтреугольников - боковых граней пирамиды.

РМ=РК=РН=√ (РО²+ОМ²) = √ (12+4) = 4 см

ОК=ОМ=r=2 см

Если в прямоугольном треугольнике, какими, без сомнения, являются треугольники КОР и МОР, катет равен половине гипотенузы, то он противолежит углу 30°, а второй острый угол в таком треугольнике равен 60°.

То, что диаметр основания конуса равен его образующей, подтверждает найденное решение.

Ответ:

искомый угол равен 60°.