Высота АА1 треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки длиной 8 и 9. Найти длину высоты АА1, если известно, что другая высота делит её пополам.

Пусть мы имеем треугольник АВС, высоты АА1 и СС1. Точка их пересечения Д.

Обозначим половины искомой высоты за х.

Рассмотрим 2 равных взаимно перпендикулярных угла А1 АИ и ДСА1.

Тангенсы их равны:

9/2 х = х/8.

2 х² = 8*9.

х² = 4*9.

х = 2*3 = 6.

АА1 = 2 х = 2*6 = 12.