Найти стороны треугольника ABC, если его биссектриса BL = 4 и медиана AM = 4 перпендикулярны друг другу.

Пусть P - точка пересечения отрезков B L и A M.

Треугольник AB M - равнобедренный, т. к. его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PM = 2, BC = 2BM = 2AB.

По свойству биссектрисы треугольника CL/AL=BC/AB = 2, т. е. AC = 3A L.

Проведём через вершину B прямую, параллельную AC.

Пусть K - точка пересечения этой прямой с продолжением медианы A M. Тогда BK = AC = 3A L.

Из продобия треугольников AP L и KPB следует, что PL/BP=AL/BK=1/3

Поэтому P L = 1 и BP = 3.

Следовательно, АВ ²=АР²+ВР²=4+9=13, АВ=√13

ВС=2 АВ=2√13

АL²=АР²+PL²=4+1=5. PL=√5

AC=3√5

Ответ √13, 2√13, 3√5