Две стороны треугольника равны 8 см и 4√3 см, а угол между ними-30 градусов. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника со значениями его углов.

Сначала найдем третью сторону треугольника. Пусть a и b - известные стороны, а c - неизвестная сторона. У нас есть следующая информация: a = 8 см, b = 4√3 см, угол между ними - 30 градусов.

Теорема косинусов гласит:
c² = a² + b² - 2ab*cos(C),

где c - третья сторона треугольника, A, B, C - соответствующие углы, a, b, c - стороны треугольника.

Подставим значения в формулу:
c² = (8 см)² + (4√3 см)² - 2 * 8 см * 4√3 см * cos(30°).

Упростим выражение:
c² = 64 см² + 48 см² - 64см*√3 см * cos(30°).

Так как cos(30°) = √3 / 2, подставим значение:
c² = 64 см² + 48 см² - 64см*√3 см * (√3 / 2).

c² = 64 см² + 48 см² - 32см².

c² = 80 см².

Теперь найдем площадь треугольника. Пусть S - площадь треугольника, a и b - известные стороны, θ - угол между ними.

Формула для вычисления площади треугольника:
S = 0.5 * a * b * sin(θ),

где S - площадь треугольника, a, b - стороны треугольника, θ - угол между ними.

Подставим значения в формулу:
S = 0.5 * 8 см * 4√3 см * sin(30°).

Так как sin(30°) = 0.5, подставим значение:
S = 0.5 * 8 см * 4√3 см * 0.5.

S = 8 см * 2√3 см.

S = 16√3 см².

Итак, третья сторона треугольника равна √80 см ≈ 8.94 см, а его площадь равна 16√3 см².