Дано: треугольник ABC - р/б, АС - основание, М лежит на АВ, К лежит на ВС, Р лежит на АС, угол АМР = углу РКС, АМ = КС доказать а) МР=РК б) МК перпендикулярно ВР

А) Доказательство:

Рассмотрим треугольники AMP и CKP. По условию задачи угол AMP равен углу PKC; сторона AM равна стороне KC, а углы MAP и KCP равны как углы равнобедренного треугольника, лежащие при основании. Поэтому треугольники AMP и CKP равны по второму признаку равенства треугольников. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, поэтому стороны MP и KP этих треугольников равны, что и требовалось доказать.

б) Так как AM=KC по условию, то прямая MK параллельна прямой AC. Так как треугольники AMP и CKP равны, то BP является медианой треугольника ABC. Медиана равнобедренного треугольника является также его биссектрисой и высотой. BP перпендикулярна к прямой AC, а т. к. прямая AC параллельна прямой MK, то высота BP перпендикулярна к прямой MK, что и требовалось доказать.