Если вектор a равен вектору b, то вектор b равен вектору a : a=b=>b = a

1.3) Теорема. От любой данной точки можно отложить направленный отрезок, равный данному, и притом - только один.

 Если данный направленный отрезок - нулевой, то утверждение теоремы очевидно. Пусть отрезок - ненулевой. Проведем через точку С прямуюl, параллельную (АВ). Направленный отрезок, который нам надо отложить, обязан лежать на этой прямой (ибо он коллинеарен) и иметь длину |АВ|. От точки С можно отложить ровно два таких отрезка - обозначим изи (рис. 4), причем  (почему?). В силу (Н4) если , то , а если , то . Таким образом, в обоих возможных случаях существует ровно один искомый отрезок, что и требовалось доказать.

(1.4) Теорема. Все направленные отрезки разбиваются на непересекающиеся классы отрезков таким образом, что любые два отрезка из одного класса равны между собой, а из разных классов - не равны.

 Зафиксируем произвольную точку О, и для каждого направленного отрезка, исходящего из этой точки, обозначим через К () класс (т. е., совокупность) всех равных ему отрезков. При этом каждый направленный отрезок попадет ровно в один из таких классов, а именно, в класс равного ему направленного отрезка, отложенного от точки О. Поскольку любые два отрезка из одного и того же класса К () равны отрезку, они равны и между собой (теорема 1.2). Теперь допустим, что нашлись равные отрезки К () и К (). Но тогда===, откуда по той же теореме 1.2=. Таким образом, если два отрезка равны, то они лежат в одном классе, то есть отрезки из разных классов не могут быть равными. В частности, это означает, что разные классы не могут пересекаться.