1 | В окружности радиуса 1 проведена хорда длины 1. Найти площадь

частей круга, на которые данный круг разделен проведенной хордой.

2 | В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса прямого

угла CD, острый угол B равен 30 (градусов). Найти углы

треугольника DH1H2, где H1 и H2 - точки пересечения высот

треугольников ACD и BCD.

3 | На стороне AB треугольника ABC взята точка M так, что AM = 2MB, а на стороне AC точка K. Известно, что площадь треугольника AMK в 2 раза меньше площади треугольника ABC. В каком отношении точка K делит сторону AC?

1) См. рис. 1

S (круга) = πR²=π

Треугольник АОВ - равносторонний

AO=OB=R=1

AB=1

Центральный угол АОВ равен 60 °

S₁=S (сек. АОВ) = πR²·360°/60° = (1/6) πR² = (1/6) π

S₂=π - (1/6) π = (5/6) π

2) Cм. рис. Треугольник СDB - тупоугольный, ∠СDB=105°

Поэтому высоты из точек С и В пересекаются с продолжением сторон

Отмечаем углы и получаем ответ 30°; 60° и 90°

3.

Применяем формулу

S (Δ) = (1/2) ·a·b·sinα

S (Δ ABC) = (1/2) ·AB·AC·sinα

S (ΔAMK) = (1/2) ·AM·AK·sinα

По условию AM = (2/3) AB и S (Δ ABC) = 2S (Δ AМК)

AB·AC=2·AM·AK

AB·AC=2· (2/3) AB·AK

AC = (4/3) AK

АК: АС=3:4

О т в е т. 3:4