Круг разделен диаметром в два полукружия. В один из них вписаны два новых полукружия, которые опираются на радиус данного круга как на свой диаметр. В криволинейную фигуру, которая ограничена контурами этих трех полукружий, вписан круг. Во сколько раз его площадь меньше площади данного круга?

Пусть диаметр большого круга МК, О - его центр, радиус=R, А и В - центры полукружий, их радиусы АО=ОВ=R/2. Центр вписанного третьего круга С, его радиус - r.

Соединим центры полукружий с центром вписанного в криволинейную фигуру круга. Как вписанный, он касается внутренним касанием окружности большего круга и внешним - полукружий. АС=ВС = (R/2 + r). Треугольник АВС - равнобедренный. AO=BO, ⇒ СО - его медиана и высота. По т. Пифагора АС²=АО²+СО² Для удобства записи примем R/2=a. Тогда АО=а, R=ОТ=2 а, СО = (2 а-r). Запишем (a+r) ²=a² + (2a-r) ². ⇒ a²+2ar+r²=a²+4a²-4ar+r². ⇒ 4 а²-6ar=0. Сократив уравнение на 2 а, получим 2 а-3r=0, ⇒ 3r=2a=R. Радиус вписанного круга равен R/3. Все круги - подобны. Для данных k=1/3. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. S (R/3) : S (R) = k² = (1/3) ²=1/9. Ответ - в 9 раз площадь меньшего круга меньше площади большего круга.