В шар радиуса R вписан прямой круговой конус, написать функциональную зависимость площади боковой поверхности S:

от образующей L;

от угла α при вершине конуса в его осевом сечении;

от угла B при основании конуса

1) Зависимость площади боковой поверхности S от образующей L;

Косинус половины угла при вершине по теореме косинусов:

cos (α/2) = (R² + L² - R²) / (2RL) = L/2R.

Отсюда синус равен: sin (α/2) = √ (1 - (L²/4R²).

Радиус r основания конуса равен:

r = Lsin (α/2) = L√ (1 - (L²/4R²).

Тогда S = πrL = πL√ (1 - (L²/4R²) L = πL²√ (1 - (L²/4R²).

2) Зависимость площади боковой поверхности S от угла α при вершине конуса в его осевом сечении.

Пусть основание конуса ниже центра шара.

Угол φ между радиусами R шара и основания r конуса равен:

φ = 90° - 2 (α/2) = 90° - α.

r = Rcosφ = Rcos (90 - α) = Rsin α.

Образующая L равна:

L = r/sin (α/2) = Rsin α/sin (α/2) = R*2sin (α/2) cos (α/2) / sin (α/2) = 2Rcos (α/2).

Тогда S = πrL = πRsin α2Rcos (α/2) = 2πR²sin α*cos (α/2).

3) Зависимость площади боковой поверхности S от угла B при основании конуса.

Аналогично с пунктом 2) S = 2πR²sin 2β*sinβ.