Вписанная окружность точкой касания делит гипотенузу на отрезки, равные 4 см и 3 см Найдите площадь треугольника

На основании свойства касательных из одной точки к окружности обозначим катеты 3+r и 4+r.

По Пифагору (3+r) ² + (4+r) ² = 7².

9+6r+r²+16+8r+r² = 49.

2r² + 14r - 24 = 0 сократим на 2:

r² + 7r - 12 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно r:

Ищем дискриминант:

D=7^2-4*1 * (-12) = 49-4 * (-12) = 49 - (-4*12) = 49 - (-48) = 49+48=97;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

r_1 = (√97-7) / (2*1) = √97/2-7/2=√97/2-3,5 ≈ 1,42443;

r_2 = (-√97-7) / (2*1) = - √97/2-7/2=-√97/2-3,5 ≈ - 8,42443 отрицательное значение не принимаем.

Катеты равны 3+1,42443 = 4,42443 и 4+1,42443 = 5,42443.

Теперь находим искомую площадь треугольника:

S = (1/2) * 4,42443*5,42443 = 12 см².