Окружность с центром О на стороне АС треугольника АВС касается сторон АВ и ВС. Известно, что AO = 3, OC = 4 и BO = 6. Найти радиус окружности и площадь треугольника АВС. Прошу подробное решение.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

ОP=OT=OK=OM=5

АК=АО-ОК=13-5=8

ВМ=ВО-МО=7-5=2

По теореме Пифагора из треугольника APO

АP=√AO2-OP2=√132-52=√144=12

Обозначим ∠ СAB=α

sinα = OP/AO = 5/13;

cosα = AP/AO = 12/13.

По теореме Пифагора из треугольника BTO

BT=√BO2-OT2=√72-52=√24=2√6

Обозначим ∠ СBA=β

sinβ = OT/OB = 2√6/7;

cos β = BT/OB=5/7.

Так как AB=13+7=20

по теореме синусов

AB/sin ∠ ACB=2R

∠ ACB=180 ° - α - β

sin∠ ACB=sin (180 ° - α - β) = sin (α + β) =

=sin α ·cos β + cos α ·sin β =

= (5/13) · (2√6/7) + (12/13) · (5/7) = 10 (6+√6) / 91

R=10·91/10· (6+√6) = 91 / (6+√6)

О т в е т. 91 / (6+√6)