Найти площадь ромба, если его одна сторона равна 20 см, а одна диагональ на 8 см больше другой.

Диагонали ромба перпендикулярны (докажите самостоятельно).

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам (это верно для любого параллелограмма - докажите самостоятельно).

Пусть одна диагональ ромба d см, тогда вторая диагональ (по условию) (d+8) см.

Диагонали ромба делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Каждый такой прямоугольный треугольник имеет катеты (d/2) и (d+8) / 2 см, и гипотенузой 20 см.

По т. Пифагора получим

(d/2) ^2 + ((d+8) / 2) ^2 = 20^2;

решаем это уравнение

(d²/4) + (1/4) * (d² + 16*d + 64) = 400,

d² + d² + 16d + 64 = 4*400 = 1600,

2*d² + 16d + 64 - 1600 = 0,

d² + 8d + 32 - 800 = 0,

d² + 8d - 768 = 0,

D = 8² - 4 * (-768) = 64+3072 = 3136 = 56²,

d₁ = (-8 - 56) / 2 = - 64/2 = - 32, (этот корень не годится, т. к. он отрицательный: длина отрицательной быть не может)

d₂ = (-8 + 56) / 2 = 48/2 = 24.

Итак, d = 24 см это первая диагональ, вторая диагональ (d+8) = 24+8 = 32 см.

Площадь найдем по известной формуле: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S = (24*32) / 2 = 12*32 см² = 384 см²