Стереометрия Серия 1 1. Разность между образующей конуса и его высотой равна 12 a yroл между ними равен 60 градусов. Найти высоту конуса. 2. Угол при вершине осевого сеченич конуса равен 90 градусов, а площадь этого сечения 36 кв. eд Найти объем конуса (число считать равным 3) 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 и 8, а угол между ними равен 30 градусов. Диагональ меньшей грани равна 5 найти объем параллелепипеда 4. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2 a угол между боковыми ребрами равен 90 градусов. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Найти боковую поверхность конуса, если известно, что она втвоe больше площади основания конуса a площадь осевого сечения конуса равна корень из 3 / на п

1. Разность между образующей L конуса и его высотой H равна 12 a yroл между ними равен 60 градусов. Найти высоту Н конуса.

L - H = 12.

Высота Н как катет против угла в 30 градусов равен:

Н = L/2 или L = 2H.

Подставим в первое уравнение: 2 Н - Н = 12.

Получаем ответ: Н = 12 ед.

2. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 градусов, а площадь этого сечения 36 кв. eд. Найти объем V конуса (число π считать равным 3).

Из условия вытекает R = H.

S = (1/2) * (2R) * H = R*R = R² = 36. R = √36 = 6.

Отсюда H = 6.

Ответ: V = (1/3) πR²H = (1/3) * 3*6²*6 = 216 куб. ед.

3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 и 8, а угол между ними равен 30 градусов. Диагональ меньшей грани равна 5. Найти объем параллелепипеда.

Высота основания (лежит против угла в 30 °) равна 4/2 = 2. So = 2*8 = 16 кв. ед.

Высота параллелепипеда по Пифагору равна √25-16) = √9 = 3.

V = 16*3 = 48 куб. ед.

4. В правильной треугольной пирамиде сторона а основания равна 2, a угол β между боковыми ребрами равен 90 градусов. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Периметр основания Р = 3 а = 3*2 = 6 кв. ед.

Угол между боковым ребром и стороной основания равен (180 - 90) / 2 = 45 °. Поэтому высота А боковой грани (это апофема) равна половине стороны основания, то есть 2/2 = 1.

Sбок = (1/2) РА = (1/2) * 6*1 = 3 кв. ед.

5) Найти боковую поверхность Sбок конуса, если известно, что она вдвое больше площади So основания конуса a площадь Sос осевого сечения конуса равна (√3/π).

По условию Sбок = 2 Sо или πRL = 2 * (πR²) или L = 2R (это диаметр).

То есть осевое сечение - равносторонний треугольник, углы по 60°.

Используем условие (площадь равностороннего треугольника):

Sоc = (2R) ²√3/4 = √3/π,

R²√3 = √3/π и после сокращения: R = √ (1/π) = 1 / (√π).

Теперь находим Sбок = πRL при условии L = 2R.

Sбок = π * (1 / (√π)) * 2 (1 / (√π)) = 2 кв. ед.