Помогите доказать, что треугольники равны

1) по двум сторонам и углу между ними

Доказательство:

Пусть у треугольников АВС и А1 В1 С 1 угол A равен углу А1, АВ равно А1 В 1, АС равно А1 С1. Докажем, что треугольники равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы угол A совместился с углом A1. Так как АВ=А1 В1, а АС=А1 С1, то B совпадёт с В1, а C совпадёт с С1. Значит, треугольник А1 В1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

2) по стороне и прилежащим к ней углам

Доказательство:

ПустьАВС и А1 В1 С1 - два треугольника, у которых АВ равно А1 В 1, угол А равен углу А1, и угол В равен углу В1. Докажем, что они равны.

Наложим треугольник ABC (либо симметричный ему) на треугольник A1B1C1 так, чтобы AB совпало с A1B 1. Так как ∠ВАС = ∠В1 А1 С 1 и ∠АВС=∠А1 В1 С1, то луч АС совпадёт с А1 С1, а ВС совпадёт с В1 С1. Отсюда следует, что вершина C совпадёт с С 1. Значит, треугольник А1 В1 С 1 совпадает с треугольником АВС, а следовательно, равен треугольнику АВС.

Теорема доказана.

3) по трём сторонам

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1 В1, BC = BlC1 СА=С1 А1. Докажем, что ΔАВС = ΔA1B1C1.

Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В - с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1 В1. Рассмотрим 3 случая:

1) Луч С1 С проходит внутри угла А1 С1 В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1 С1 равны, то треугольники A1C1C и В1 С1 С - равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.

2) Луч С1 С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, C1BC - равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.

3) Луч C1C проходит вне угла А1 С1 В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1.

Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по

первому признаку равенства треугольников.

Теорема доказана.

2. Деление отрезка на n равных частей.

Провести луч через A, отложить на нём n равных отрезков. Через B и An провести прямую и к ней параллельные через точки A 1 - An-1. Отметим их точки пересечения с AB. Получим n отрезков, которые равны по теореме Фалеса.

Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.