Даны точки: A (1; 2; 3), B (5; -1; 2), C (0; 1; 1), D (-4; 3; 5). Доказать, что данные точки вершины пирамиды.

Доказательством, что данные точки - это вершины пирамиды, служит несоответствие координат четвёртой точки уравнению плоскости, которой принадлежат другие три точки.

Составим уравнение плоскости, которой принадлежат точки А, В и С.

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) - координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости определяется из уравнения:

(x-x1) * (у2-y1) * (z3-z1) - (x-x1) * (z2-z1) * (y3-y1) - (y-y1) * (x2-x1) * (z3-z1) + (y-y1) * (z2-z1) * (x3-x1) + (z-z1) * (x2-x1) * (y3-y1) - (z-z1) * (y2-y1) * (x3-x1) = 0.

Подставив заданные координаты точек, получаем:

5x + 9y - 7z - 2 = 0.

Подставим координаты точки Д:

5 * (-4) + 9*3 - 7*5 - 2 = - 20 + 27 - 35 - 2 = - 30.

То есть не равно нулю. Значит, точка Д не принадлежит плоскости точек А, В и С - это вершина пирамиды.